Итак, мы выяснили, что такое система счисления; узнали, какого вида они бывают; рассмотрели различные необычные системы счисления и научились выполнять перевод между системами счисления (не только целых, но и дробных чисел).

Вы, наверное, заметили, что вычисления при переводе из одной системы счисления в другую занимают ОЧЕНЬ много времени. И не вздыхали ли Вы при этом "Эх, упростить бы процедуру перевода из одной в другую систему счисления…”?

Должна обрадовать вас – можно! Правда, не все числа. А только числа тех систем, основания которых кратны двум.

Вот мы и плавненько подобрались к тому, чтобы научиться выполнять быстрый перевод чисел в системах счисления, основание которых равно 2, 8 и 16.

Это был второй пункт нашего плана, озвученного на прошлом занятии. Итак, приступаем.

Восьмеричные числа

Для записи этих чисел используются восемь цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. А это значит, что в каждом разряде числа возможны 8 вариантов записи (т.е. проще говоря, в одном разряде может быть одна из этих 8 цифр).

Т.к. 8 = 2ⁱ и 2³ = 2ⁱ, потому i=3.

Таким образом, чтобы из восьмеричной системы счисления перевести число в двоичный код, надо каждую цифру этого числа представить триадой (тройкой) двоичных символов. При этом лишние нули в старших разрядах отбрасываются. Например:

1234,777₈ = 001 010 011 100, 111 111 111₂ = 1 010 011 100, 111 111 111₂

1234567₈ = 001 010 011 100 101 110 111₂ = 1 010 011 100 101 110 111₂

То есть вам всего лишь надо запомнить, как записываются двоичные числа (достаточно в пределах восьми). А сделать это несложно: т.к. всего 2 цифры (0 и 1), то есть надо просто записывать в порядке возрастания числа, состоящие из 0 и 1:

0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001, 1010, 1011 и т.д.

Двоичные числа

При переводе двоичного числа в восьмеричную систему счисления нужно каждую триаду двоичных цифр заменить восьмеричной цифрой. При этом, если необходимо, число выравнивается путем дописывания нулей перед целой частью или после дробной.

Отделяем с конца (в целой части) или с начала (в дробной) по три знака и, если недостаточно, то дописываем нули:

1100111₂ = 001 100 111₂ = 147₈ (ведь 001₂=1₈, 100₂=4₈, 111₂=7₈)

11,1001₂ = 011,100 100₂ = 3,44₈ (ведь 011₂=3₈, 100₂=4₈)

110,0111₂ = 110,011 100₂ = 6,34₈ (ведь 110₂=6₈, 011₂=3₈, 100₂=4₈)

Шестнадцатеричные числа

Для записи этих чисел используются 16 цифр:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.

То есть для каждого разряда числа возможны 16 вариантов записи.

Т.к. 16 = 2ⁱ и 2⁴ = 2ⁱ, потому i=4.

Таким образом, для перевода двоичного числа в 16-ричное его нужно разбить на группы по четыре цифры и преобразовать каждую группу в 16-ричную цифру:

1100111₂ = 0110 0111₂ = 67₁₆

11,1001₂ = 0011,1001₂ = 3,9₁₆

110,0111001₂ = 0110,0111 0010₂ = 65,72₁₆

Для перевода 16-ричного числа в двоичный код необходимо каждую цифру этого числа представить четверкой двоичных цифр:

1234,AB77₁₆ = 0001 0010 0011 0100,1010 1011 0111 0111₂ = 1 0010 0011 0100,1010 1011 0111 0111₂

CE4567₁₆ = 1100 1110 0100 0101 0110 0111₂

Например, переведем восьмеричное число 211₈ в шестнадцатеричное.

Для этого сначала преобразуем число 213₈в двоичный код, для чего каждую из цифр (2, 1, и 3) запишем как двоичное:

211₈ = 010 001 011₂ = 10001011₂

А теперь в полученном двоичном числе отделим с конца по 4 знака (т.к. для 16-ричного числа нужны четверки чисел):

10001011₂ = 1000 1011₂

Но 1000₂ = 8₁₆ и 1011₂ = B₁₆

Получаем, что 211₈ = 8B₁₆ в

Вот, пожалуй, и все на сегодня. Задачки по теме порешаем в следующий раз.