Рассмотрев различные виды систем счисления, перейдем к рассмотрению конкретной системы счисления – двоичной. Ведь именно двоичная система счисления используется в компьютере.

Почему именно двоичная система счисления? Ответ прост:

Свет или есть (1), или его нет (О), третьего не дано!

Вспомним, что мы разбирали в теме "Виды систем счисления” и соотнесем эти знания с двоичной системой счисления.

У любой системы есть:

• алфавит (в двоичной он состоит из двух знаков – нуля и единицы, именно с их помощью записываются любые числа в этой системе),
• основание (т.к. знаков может быть всего два, основанием является число 2),
• базис (в этой системе он состоит из чисел вида 2⁰, 2¹, 2², …, 2^-1, 2^-2, … ).

Рассмотрим теперь развернутую запись числа, но сначала вспомним, как она выглядит в нашей обычной десятичной системе:

2357₁₀ = 2*10³ + 3*10² + 5*10¹ + 7*10⁰ (здесь 10 – основание десятичной системы).

В двоичной же системе это будет выглядеть так (помним, что здесь только два знака – 1 и о):

1011₂ = 1*2³ + 0*2² + 1*2¹ + 1*2⁰ (здесь основанием системы является 2, поэтому везде умножаем на 2 в степени).

Напоминаю еще раз, откуда что здесь мы взяли:

• первая (слева направо) цифра – 1, за ней остается 3 знака в двоичной системе, поэтому получаем 1*2³,
• вторая цифра – О, за ней остается 2 знака в двоичной системе, поэтому получаем 0*2²,
• третья цифра – 1, за ней остается 1 знак в двоичной системе, поэтому получаем 1*2¹,
• четвертая цифра опять 1, за ней НЕТ знаков и это двоичная система, поэтому получаем 1*2⁰.

Выполним указанные действия – возведение в степень и сложение (при этом помним, что при умножении на ноль всегда получаем ноль, и что любое число в нулевой степени, это всегда единица!). Получаем:

1011₂ = 1*2³ + 0*2² + 1*2¹ +1*2⁰ = 1*8 + 0*4 + 1*2 + 1*1 = 8 + 0 + 2 + 1 = 11₁₀.

Ура! Мы научились переводить числа из двоичной системы счисления в десятичную!!!! Всё легко и просто!

Еще один пример: 11010₂ = 1*2⁴ + 1*2³ + 0*2² +1*2¹ + 0*2⁰ = 1*16 + 1*8 + 0*4 + 1*2 + 0*1 = 16 + 8 +0 + 2 +0 = 26₁₀.

Обратите внимание: там, где был ноль, мы в итоге ноль и получаем! Поэтому на нули можно внимание не обращать и не писать их, тогда запись сократится: 11010₂ = 1*2⁴ + 1*2³ + 1*2¹ = 1*16 + 1*8 + 1*2 = 16 + 8 +2 = 26₁₀.

Ну, а теперь способ перевода числа из десятичной системы в двоичную. Нам для этого надо выполнить обычное деление в столбик (но только нацело) и при этом выделить для себя остатки от деления. Чтобы не запутаться, всё деление выполнять лучше в одном примере: то есть получили ответ, его тут же делим опять, опять и опять. Выполним перевод  57₁₀ = ?₂. Выглядит это так:

Итак, поясняю. Во-первых, мы переводим в двоичное число, поэтому всякий раз делим на 2. Еще, нам нужно выделить все остатки.

• 57 делим на 2, получаем 28 и в остатке 1.
• Ответ 28 еще делится на 2, поэтому продолжаем деление. Ответ 14 и в остатке О.
• Ответ 14 еще делится на 2, поэтому продолжаем деление. Ответ 7 и в остатке О.
• Ответ 7 еще делится на 2, поэтому продолжаем деление. Ответ 3 и в остатке 1.
• Ответ 3 еще делится на 2, поэтому продолжаем деление. Ответ 1 и в остатке.
• Ответ 1 уже меньше 2, поэтому прекращаем деление. Выделяем ответ.

Теперь нам только нужно выделенные остатки записать в обратном порядке (т.е. справа налево). И выходит: 57₁₀ = 111001₂.

Совет

Очень часто ребята спрашивают: а зачем делить в столбик, если я этот пример и устно могу посчитать?

Поверьте, лучше писать, чтобы не запутаться, ведь не всегда бывают легкие примеры. Да и с остатками надо как-то определяться.

Давайте разберем один из непростых примеров перевода.Например, 60₁₀ = ?₂

Какую ошибку здесь чаще всего допускают? Делят 6 на 2 и получают в ответе 3, а не 30.

Запомните: пока вы не получили число (о или 1) как остаток от вычитания, выделить его вы не можете!!!

Попробуйте сами теперь выполнить перевод следующих чисел: 1000₂ = ?₁₀, 100₁₀ = ?₂, 61₁₀ = ?₂

И еще одно задание. Переведите числа 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 из десятичной в двоичную систему и ответ запишите в виде таблицы (она нам еще много-много раз пригодится в дальнейшем), где в левом столбике десятичные числа, а в правом – их двоичная запись.

Когда в дальнейшем я буду объяснять вам решение задач, я приведу верное решение этих заданий.